1.1 命题与命题联结词

1.1.1 命题与命题的表示

命题的判定

能判定真假的陈述句称为命题

真假意义确实存在，但不能立即给出的陈述句是命题。

非陈述句的祈使句、命令句、疑问句、感叹句都不是命题。

无法确定真假（真值不唯一的陈述句也不是命题。)

命题的表示

命题符号化

用大、小写英文字母表示简单命题。

用“T”（1）表示为真，用“F”（0）表示假

1 2	T = true = 1; F = false = 0;

命题分类：

简单命题（原子命题）
复合命题

1.1.2 复合命题与联结词

1. 复合命题的符号化

原则：

符号化后的真值必须与命题保持一致

步骤：

分解复合命题为简单命题
列出原命题与简单命题间的真值对应关系
选择合适的联结词进行表达

2. 否定联结词

定义： 设p为命题，复合命题”非 P“（或 P 的否定）称为P的否定式P 符号称作否定联结词规定P为真当且仅当 P 为假

3. 合取联结词

定义：

设P,Q为两个命题，复合命题“P并且Q”（或P与Q）称为P与Q的合取式，记作PQ，称作合取联结词。规定PQ为真当且仅当P与Q同时为真。

4. 析取联结词

定义：

设P，Q为两个命题，复合命题P或Q称作P与Q的析取式，记作PQ称作析取联结词。规定PQ为假当且仅当P与Q同时为假。

5.1 条件（蕴含）

设：P , Q 为两个命题复合命题“如果 P , 则Q称作P与Q的条件式记作PQ，并称P是前件Q为蕴涵式的后件，称作条件联结词。

规定： P Q 为假当且仅当p为真q为假。

5.2 条件（蕴含）

的逻辑关系：Q为P的必要条件
“如果P，则Q”有很多不同的表达方式：
- 若P，就Q
- 只要P，就P
- P仅当Q
- 只有Q才P
- 除非Q, 才P 或除非Q，否则非P。
当P为假时，恒为真，称为空证明

6. 双条件（等价）

定义：

设P，Q 为两个命题，复合命题“P当且仅当Q”称作P与Q的等价式，记作，称作双条件联结词。规定：为真当且仅当 P 与 Q 同时为真或同时为假。

的逻辑关系。

$与$ 互为充分必要条件。

7. 联结词小结

联结词	复合命题	读法	真值结果
否定	P是不对的	非P	为真，当且仅当P为假
合取	P并且Q	P和取Q	为真，当且仅当P，Q同为真
析取	P或者Q	P析取Q	为真，当且仅当P,Q中至少一个为真
条件	若P，则Q	P蕴含Q	为假，当且仅当P为真Q为假
双条件	P当且仅当Q	P等价于Q	为假,当且仅当P，Q同为真或假

1.2 命题公式和等值演算

命题公式

1. 命题常项

命题常项（命题常元）：简单命题。
命题变项（命题变元）：真值可以变的陈述句。
常项与变项均用 $，，，，，，，，$ 等表示。

2. 合成公式（公式）

定义：

命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来。

单个命题变项和命题常项时合式公式，称为原子命题公式
若A式合式公式，则（）也是合式公式
若A，B式合式公式，则也是
只有有限次地应用（1）-（3）形成的符号串式合式公式

1.2.2 合成公式

1. 公式的赋值

定义：

设是出现在公式A中的全部命题变项，给 $，$ 各指定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。

若使A为T，则称这组值为A的成真赋值。
若使A为F，则称这组值为A的成假赋值。

几点说明：

A中仅出现，给A赋值是指F或T，之间不加标点符号。
A中仅出现 $，，，，$ 给A赋值是指F或T，之间不加标点符号
含个命题变项的公式有个赋值。

2. 真值表

定义：

将公式A在所有赋值下取值的情况列成表，称为A的真值表

步骤：

找出公式中所含的全部命题变现（若无下角标则按字母顺序排列），列出个全部赋值，从00…0开始，按二进制加法，每次加1，直至11…1为止。
按从简到繁的顺序写出公式的各个子公式。
对每个赋值依次计算各子公式的真值，直到最后计算楚公式的真值为止。

3. 公式的类型

定义：

若A在它的任何赋值下均为真，则称A为重言式或永真式；
若A在它的任何赋值下均为假，则称A为矛盾式或永假式；
若A不是矛盾式，则称A是可满足式。

公式的类型：

公式	读法
$（）$	非重言的可满足式
$（）$	重言式
	矛盾式

注意：重言式是可满足式，但反之不真。

真值表的用途：

求出公式的全部成真赋值与成假赋值，判断公式的类型。

1.2.3 等值式的概念

定义：

若等价式是重言式，则称A与B等值记作，并称式等值式。

1.2.4 基本等值式

看前需知：

符号	读法	LaTeX
	否定	\neg
	合取	\wedge
	析取	\vee
	条件	\to
	双条件	\leftrightarrow
	等价	\Leftrightarrow

公式：

双重否定式
幂等律
交换律
结合律
- $）$
分配律
德摩根率
吸收律
零律
同一律
排中律
矛盾律
蕴含等值式
等价等值式
假言易位
等价否定等值式
归缪论

离散数学（复习）

1.1 命题与命题联结词

1.1.1 命题与命题的表示

命题的判定

命题的表示

命题分类：

1.1.2 复合命题与联结词

1. 复合命题的符号化

原则：

步骤：

2. 否定联结词

3. 合取联结词

4. 析取联结词

5.1 条件（蕴含）

5.2 条件（蕴含）

6. 双条件（等价）

7. 联结词小结

1.2 命题公式和等值演算

命题公式

1. 命题常项

2. 合成公式（公式）

1.2.2 合成公式

1. 公式的赋值

2. 真值表

3. 公式的类型

1.2.3 等值式的概念

定义：

1.2.4 基本等值式

看前需知：

公式：